고졸 기초수학

제 1강 : 집합과 명제

1. 집합

(1) 뜻 : 모임(기준이 있는 모임)
(2) 원소 : 집합을 이루는 대상 하나하나.

(3) 속한다 : ∈

포함한다 : ⊂

(4) 부분집합의 개수 → [eqn: 2 ^{n}]

2. 집합의 연산

A

B

(1) 합집합 : A∪B

A

B

(2) 교집합 : A∩B

A

[eqn: A ^{c}]

U

(3) 여집합 : [eqn: A ^{c}] → A가 아닌 것.

(4) 차집합 : A-B= 집합A에는 속해있지만 B에는 속하지 않는 원소들의 모임.

A

B

3. 명제 : 문장이나 식에서 참, 거짓 중 어느 하나로만 분명하게 판별되는 것.

(1) 명제의 부정

① 크다의 부정 → 적거나 같다.

② 같다의 부정 → 같지 않다.

③ 또는의 부정 → 그리고

(2) 역, 이, 대우

P→Q

~P→~Q

Q→P

~Q→~P

대우

이

이

역

역

제 2강 : 수와 체계

1. 복소수 : 실수부[eqn: ±]허수부

(1) 허수단위 : [eqn: i= sqrt {-1}]

(2) 켤례 복소수 : [eqn: bar{Z}]

(3) 복소수의 계산 * 실수끼리 더하고 뺀다.

* 허수끼리 더하고 뺀다.

(4) [eqn: i ^{2} =-1]

예) [eqn: i ^{4} =1]

예) [eqn: i ^{10} =i ^{2} =-1]

예) [eqn: (1+i) ^{2} =2i]

제 3강 : 인수분해

1. 뜻 : 다항식의 합을 곱으로 고치는 것.

2. 인수분해 방법

첫째 : 공통인수 있는지 살펴서 있으면 꺼내고 ( )친 다음 남은 것을 ( )속에 쓴다.

둘째 : 공통인수 없으면서 항이 2개일 때 사용.

[eqn: O ^{2} -ㅁ ^{2} =(O+ㅁ)(O+ㅁ)]

셋째 : 공통인수 없으면서 항이 3개일 때 걸치기 대각선법 사용.

[eqn: O ^{2} ±합±곱 ^{2} =(`````````````````)(``````````````````)]

예) ma+mb-mc를 인수분해 하라.

→ m(a+b-c)

예) [eqn: a ^{2} -b ^{2}]을 인수분해 하라.

→ (a + b)(a - b)

예) [eqn: x ^{2} -4x-5]를 인수분해 하라.

x

x

-5

+1

∴ (x-5)(x+1)

제 4강 : 항등식, 나머지 정리, 유리식

1. 항등식 : 항상 같은 식 ⇔ x값에 관계없이 항상 등식이 성립.

2. 나머지 정리 : 나누는 식의 x값을 원래 식에 대입하면 나머지가 됨.

예) [eqn: 3x ^{2} -4x+5=ax ^{2} +bx+c]가 x의 항등식 일 때 a=? b=? c=?

답) a=3  b=-4  c=5

예) [eqn: x ^{2} -4x+1]을 x-1로 나눈 나머지는?

→ [eqn: (1) ^{2} -4(1)+1=-2]

3. 분수식(유리식)

(1) 통분 : 분모를 통일해서 더하고 뺀다.

(2) 약분 : 더 이상 양분이 안 될 때까지 간단히 하기.

예)  [eqn: {2} over {x+1} + {3} over {x-1} RARROW {2(x-1)} over {(x+1)(x-1)} + {3(x+1)} over {(x+1)(x-1)} = {2x-2+3x+3} over {(x+1)(x-1)} = {5x+1} over {(x+1)(x-1)}]

예) [eqn: {(x+1)(x+3)} over {(x-2)(x-1)} TIMES {(x-2)} over {(x+3)(x-1)} =?]

[eqn: = {(x+1)} over {(x-1) ^{2}}]

제 5강 : 무리식

1. 분모유리화 : 분모의 [eqn: sqrt {}]를 없애는 것.

2. 이중근호

[eqn: sqrt {합±2 sqrt {곱}} = sqrt {큰`것} ± sqrt {작은`것}]

3. 근호식의 덧셈, 뺄셈 : 동류항끼리 +, -한다.

4. 무리수의 상등

예) [eqn: {2} over {sqrt {3}}]을 유리화? → [eqn: {2 sqrt {3}} over {sqrt {3} sqrt {3}} = {2 sqrt {3}} over {3}]

예) [eqn: {1} over {sqrt {3} -1}]을 유리화? → [eqn: {1( sqrt {3} +1)} over {( sqrt {3} -1)( sqrt {3} +1)} = {sqrt {3} +1} over {3-1} = {sqrt {3} +1} over {2}]

예) [eqn: sqrt {5+2 sqrt {6}}]을 간단히? → [eqn: 6 sqrt {3}]

예) [eqn: 3+2 sqrt {3} =a+b sqrt {3}]일 때 a=? b=?

답) a=3 , b=2

제 6강 : 이차방정식

1. 2차방정식의 풀이법 : [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]

첫째 : 인수분해해서 부호 반대로 꺼내기

둘째 : 인수분해 안되면 근의 공식 이용.

[eqn: x= {-b± sqrt {b ^{2} -4ac}} over {2a}]

예) [eqn: x ^{2} -3x-4=0]을 풀어라.

x

x

-4

+1

∴(x-4)(x+1)=0

∴x=4, -1

예) [eqn: x ^{2} -3x-1=0]을 풀어라.

→ 인수분해 안되므로 근의 공식 이용

[eqn: x= {-(-3)± sqrt {(-3) ^{2} -4(1)(-1)}} over {2(1)} RARROW {3± sqrt {9+4}} over {2} = {3± sqrt {13}} over {2}]

2. 2차방정식의 근과 계수와의 관계

① 두 근의 합 → [eqn: - {b} over {a}]

② 두 근의 곱 → [eqn: {c} over {a}]

제 7강 : 함수

1. 함수의 뜻 : 집합 x의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 한 개 씩 대응 할 때.

(1) 정의역 : 집합x → {1, 2, 3, 4}

(2) 공역 : 집합Y → {a, b, c, d, e}

(3) 치역 : 함수값 → {a, b, c, d}

1

2

3

4

a

b

c

d

e

X

Y

f

2. 일차함수

(1) y=ax

a: 기울기 , b=y절편

(2) y=ax+b

3. 직선의 평행과 수직

(1) 평행 : 기울기만 같다.

(2) 수직 : 기울기의 곱이 -1 이다.

제 8강 : 2차함수

1. [eqn: y=ax ^{2}] → 꼭지점 (0, 0)

2. [eqn: y=ax ^{2} +c] → 꼭지점 (0, C)

3. [eqn: y=a(x± alpha ) ^{2} ± beta] → 꼭지점 ( [eqn: -+ alpha ,`± beta] )

4. [eqn: y=a(x± alpha ) ^{2}] → 꼭지점 ( [eqn: -+ alpha ,`0] )

① a : 양수이면 아래로 볼록한 포물선.

② a가 클수록 y축에 접근한 포물선.

③ 최대, 최소값 → 꼭지점의 y값.

예) [eqn: y=2x ^{2}]의 꼭지점은? (0, 0)

예) [eqn: y=-x ^{2} +3]의 꼭지점은? (0, 3)

예) [eqn: y=2(x-3) ^{2} -4]의 꼭지점은? (3, -4)

예) [eqn: y=-2x ^{2} -4]의 최대값은? -4

예) [eqn: y=x ^{2} +2]의 최소값은? 2

제 9강 : 원, 유리함수, 무리함수

1. 원방정식

(1) [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]의 중심(0, 0) 반지름 : r

(2) [eqn: (x-a) ^{2} +(y-b) ^{2} =r ^{2}]의 중심 (a, b). 반지름 : r

2. 유리함수 [eqn: y= {a} over {x}]꼴

a가 양수이면 1. 3사분면의 쌍곡선

a가 음수이면 2. 4사분면의 쌍곡선

y

x

예) [eqn: y=- {1} over {x}]의 그래프는?

3. 무리함수 : [eqn: y= sqrt {x}]꼴

[eqn: y= sqrt {-x}]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: y=- sqrt {x}]

[eqn: y=- sqrt {-x}]

x

y